Übungsblatt 7

Aufgabe 29

In einer Umfrage unter \(2000\) zufällig ausgewählten erwachsenen Bundesbürgern wurde bezüglich der Einstellung der Bevölkerung zu Managern folgende Kontingenztafel erhoben:

Altersgruppe \(\backslash\) Einstellung zu Managern positiv negativ neutral
18 bis 30 Jahre \(195\) \(340\) \(65\)
31 bis 45 Jahre \(220\) \(320\) \(160\)
über 45 Jahre \(385\) \(180\) \(135\)

Testen Sie zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.01\), ob zwischen dem Alter und der Einstellung zu Managern Unabhängigkeit besteht.

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Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

  1. Hypothesen:
    \(H_0: Y^A, Y^B\ \mbox{stochastisch unabhängig}\quad\text{gegen}\quad H_1: Y^A, Y^B\ \mbox{stochastisch abhängig}\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^l\frac{(n_{ij}-\widetilde{n}_{ij})^2}{\widetilde{n}_{ij}}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(\chi^2((k-1)\cdot(l-1))\)-verteilt. Näherung ok, falls \(\widetilde{n}_{ij}\ge 5\) für alle \(1\le i\le k\) und \(1\le j\le l\).
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.01\):
    \(K=(\chi^2_{(k-1)\cdot(l-1);1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{4;0.99},+\infty)=(13.277,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Tabelle der \(\widetilde{n}_{ij} = \frac{n_{i\cdot}\cdot n_{\cdot j}}{n}\):
    \(Y^A\backslash Y^B\) positiv negativ neutral \(n_{\cdot j}\)
    18 bis 30 Jahre \(240\) \(252\) \(108\) \(600\)
    31 bis 45 Jahre \(280\) \(294\) \(126\) \(700\)
    über 45 Jahre \(280\) \(294\) \(126\) \(700\)
    \(n_{i\cdot}\) \(800\) \(840\) \(360\) \(2000\)
    Es gilt insbesondere \(\widetilde{n}_{ij}\ge 5\) für alle \(1\le i\le 3\) und \(1\le j\le 3\ \leadsto\) Näherung ok.\[\begin{eqnarray*} \chi^2 & = & \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\frac{(n_{ij}-\widetilde{n}_{ij})^2}{\widetilde{n}_{ij}} \\ & = & \frac{(195 - 240)^2}{240} + \frac{(340 - 252)^2}{252} + \frac{(65 - 108)^2}{108} \\ & & + \frac{(220 - 280)^2}{280} + \frac{(320 - 294)^2}{294} + \frac{(160 - 126)^2}{126} \\ & & + \frac{(385 - 280)^2}{280} + \frac{(180 - 294)^2}{294} + \frac{(135 - 126)^2}{126} \\ & = & 8.4375 + 30.7302 + 17.1204 \\ & & + 12.8571 + 2.2993 + 9.1746 \\ & & + 39.375 + 44.2041 + 0.6429 \\ & = & 164.841 \end{eqnarray*}\]
  5. Entscheidung:
    \(\chi^2=164.841\in (13.277,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
    Der Test kommt also zur Entscheidung, dass die Altersgruppe und die Einstellung zu Managern nicht stochastisch unabhängig sind.

Erklär-Video zu Aufgabe 29

Aufgabe 30

Um zu überprüfen, ob es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl bearbeiteter Zusatzübungsblätter und dem Abschneiden in der Klausur (bestanden/nicht bestanden) gibt, hat der Dozent einer Statistik-Veranstaltung aus den Korrekturergebnissen der zugehörigen Klausuren aller \(292\) Teilnehmer die folgende Tabelle zusammengestellt:

0 Blätter bearbeitet 1 Blatt bearbeitet 2 Blätter bearbeitet
bestanden 104 45 91
nicht bestanden 42 8 2

Überprüfen Sie anhand dieses Datenmaterials zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.01\)(!), ob die Anzahl bearbeiteter Zusatzübungsblätter und das Klausurergebnis stochastisch unabhängig sind.

Hinweis: Verwenden Sie den folgenden Tabellenausschnitt mit \(p\)-Quantilen von \(\chi^2(n)\)-Verteilungen:

n\p 0.01 0.025 0.05 0.50 0.90 0.95 0.975 0.99
1 0.000 0.001 0.004 0.455 2.706 3.841 5.024 6.635
2 0.020 0.051 0.103 1.386 4.605 5.991 7.378 9.210
3 0.115 0.216 0.352 2.366 6.251 7.815 9.348 11.345
4 0.297 0.484 0.711 3.357 7.779 9.488 11.143 13.277
5 0.554 0.831 1.145 4.351 9.236 11.070 12.833 15.086
6 0.872 1.237 1.635 5.348 10.645 12.592 14.449 16.812
7 1.239 1.690 2.167 6.346 12.017 14.067 16.013 18.475
8 1.646 2.180 2.733 7.344 13.362 15.507 17.535 20.090
9 2.088 2.700 3.325 8.343 14.684 16.919 19.023 21.666
10 2.558 3.247 3.940 9.342 15.987 18.307 20.483 23.209
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Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

  1. Hypothesen:
    \(H_0: Y^A, Y^B\ \mbox{stochastisch unabhängig}\quad\text{gegen}\quad H_1: Y^A, Y^B\ \mbox{stochastisch abhängig}\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^l\frac{(n_{ij}-\widetilde{n}_{ij})^2}{\widetilde{n}_{ij}}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(\chi^2((k-1)\cdot(l-1))\)-verteilt. Näherung ok, falls \(\widetilde{n}_{ij}\ge 5\) für alle \(1\le i\le k\) und \(1\le j\le l\).
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.01\):
    \(K=(\chi^2_{(k-1)\cdot(l-1);1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{2;0.99},+\infty)=(9.21,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Tabelle der \(\widetilde{n}_{ij} = \frac{n_{i\cdot}\cdot n_{\cdot j}}{n}\):
    \(Y^A\backslash Y^B\) 0 Blätter bearbeitet 1 Blatt bearbeitet 2 Blätter bearbeitet \(n_{\cdot j}\)
    bestanden \(120\) \(43.562\) \(76.438\) \(240\)
    nicht bestanden \(26\) \(9.438\) \(16.562\) \(52\)
    \(n_{i\cdot}\) \(146\) \(53\) \(93\) \(292\)
    Es gilt insbesondere \(\widetilde{n}_{ij}\ge 5\) für alle \(1\le i\le 2\) und \(1\le j\le 3\ \leadsto\) Näherung ok.\[\begin{eqnarray*} \chi^2 & = & \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}\frac{(n_{ij}-\widetilde{n}_{ij})^2}{\widetilde{n}_{ij}} \\ & = & \frac{(104 - 120)^2}{120} + \frac{(45 - 43.562)^2}{43.562} + \frac{(91 - 76.438)^2}{76.438} \\ & & + \frac{(42 - 26)^2}{26} + \frac{(8 - 9.438)^2}{9.438} + \frac{(2 - 16.562)^2}{16.562} \\ & = & 2.133 + 0.047 + 2.774 \\ & & + 9.846 + 0.219 + 12.803 \\ & = & 27.823 \end{eqnarray*}\]
  5. Entscheidung:
    \(\chi^2=27.823\in (9.21,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
    Der Test kommt also zum Ergebnis, dass die Anzahl bearbeiteter Zusatzübungsblätter und das Klausurergebnis nicht stochastisch unabhängig sind.

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Aufgabe 31

Im Rahmen einer arbeitspsychologischen Untersuchung waren \(2\) Bewertungsverfahren \(A\) und \(B\) für eine bestimmte Arbeitsleistung daraufhin zu prüfen, ob sie sich hinsichtlich ihrer Ergebnisse signifikant unterscheiden. Dazu wurde bei \(10\) Versuchspersonen die Ausführung einer bestimmten Arbeit jeweils nach jedem der beiden Verfahren bewertet. Dabei erhielt man folgendes Ergebnis:

Versuchsperson \(i\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Punktzahl \(x^A_i\) Verf. \(A\) \(72\) \(70\) \(61\) \(95\) \(53\) \(60\) \(85\) \(67\) \(69\) \(62\)
Punktzahl \(x^B_i\) Verf. \(B\) \(76\) \(73\) \(70\) \(94\) \(60\) \(58\) \(80\) \(72\) \(73\) \(72\)

Es werde angenommen, dass die Daten aus einer einfachen Stichprobe zur zweidimensional normalverteilten Grundgesamtheit \((Y^A,Y^B)\) stammen. Testen Sie mit einem Signifikanzniveau \(\alpha =0.05\) die Hypothese, dass das Bewertungsverfahren \(B\) durchschnittlich höhere Werte liefert.

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\(t\)-Differenzentest für den Unterschied der Mittelwerte bei verbundenen Stichproben

  1. Hypothesen:
    \(H_0: \mu_A\ge \mu_B\qquad\text{gegen}\qquad H_1: \mu_A<\mu_B\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle t=\frac{\overline{X}}{S}\sqrt{n}\) ist unter \(H_0\) \(t(n-1)\)-verteilt (für \(\mu_A=\mu_B\)).
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.05\):
    \(K=(-\infty,-t_{n-1;1-\alpha})=(-\infty,-t_{9;0.95})=(-\infty,-1.833)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    \(i\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \(x^A_i\) \(72\) \(70\) \(61\) \(95\) \(53\) \(60\) \(85\) \(67\) \(69\) \(62\)
    \(x^B_i\) \(76\) \(73\) \(70\) \(94\) \(60\) \(58\) \(80\) \(72\) \(73\) \(72\)
    \(x_i=x^A_i-x^B_i\) \(-4\) \(-3\) \(-9\) \(1\) \(-7\) \(2\) \(5\) \(-5\) \(-4\) \(-10\)
    \(\Rightarrow {\overline{x}}=-3.4, \overline{x^2}=32.6, s^2=\frac{10}{9}(32.6-(-3.4)^2)=23.3778\) und damit
    \(\displaystyle t=\frac{\overline{x}}{s}\sqrt{n}=\frac{-3.4}{4.8351}\sqrt{10}=-2.2237\)
  5. Entscheidung:
    \(t=-2.2237\in (-\infty,-1.833)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
    Der Test kommt also zum Ergebnis, dass Verfahren \(B\) im Durchschnitt höhere Werte liefert.

Erklär-Video zu Aufgabe 31

Aufgabe 32

Zwei unterschiedlichen Gruppen mit jeweils \(61\) Schmerzpatienten wird jeweils ein spezielles Schmerzmittel verabreicht. Nach einer festgelegten Zeit werden dann alle Patienten gefragt, ob durch das verabreichte Schmerzmittel eine spürbare Linderung der Schmerzen eingetreten ist. In der Gruppe der Patienten, denen Schmerzmittel \(A\) verabreicht wurde, beantworten \(39\) Personen diese Frage positiv, in der zu Schmerzmittel \(B\) gehörigen Gruppe \(34\) Personen. Überprüfen Sie unter der Annahme, dass es sich bei dem Stichprobenergebnis um die Realisation zweier unabhängiger einfacher Stichproben handelt, zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.05\), ob % Schmerzmittel \(A\) besser wirkt als Schmerzmittel \(B\) (bezogen auf die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Linderung der Schmerzen). Formulieren Sie das Ergebnis auch in Form eines Antwortsatzes.

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Zweistichproben-\(t\)-Test für den Vergleich von Anteilswerten

  1. Hypothesen:
    \(H_0: p_A\le p_B\qquad\text{gegen}\qquad H_1: p_A>p_B\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle t=\frac{\widehat{p_A}-\widehat{p_B}}{S}\sqrt{\frac{n_A\cdot n_B}{n_A+n_B}}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(t(n_A+n_B-2)\)-verteilt (für \(p_A=p_B\)). Näherung ok, falls \(5\le n_A\widehat{p_A}\le n_A-5\) und \(5\le n_B\widehat{p_B}\le n_B-5\).
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.05\):
    \(K=(t_{n_A+n_B-2;1-\alpha},+\infty)=(t_{120;0.95},+\infty)=(1.658,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Näherung ok, da \(5\le 39\le 56\) und \(5\le 34\le 56\).
    Mit \[\begin{align*} s &=\sqrt{\frac{n_A\cdot\widehat{p_A}\cdot(1-\widehat{p_A})+n_B\cdot\widehat{p_B}\cdot(1-\widehat{p_B})}{n_A+n_B-2}} \\ &=\sqrt{\frac{61\cdot0.6393\cdot(1-0.6393)+61\cdot0.5574\cdot(1-0.5574)}{61+61-2}}=0.4926 \end{align*}\] erhält man \(\displaystyle t=\frac{\widehat{p_A}-\widehat{p_B}}{s}\sqrt{\frac{n_A\cdot n_B}{n_A+n_B}}=\frac{0.6393-0.5574}{0.4926}\sqrt{\frac{61\cdot61}{61+61}}=0.9182\)
  5. Entscheidung:
    \(t=0.9182\notin (1.658,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird nicht abgelehnt!
    Der Test findet also keine ausreichenden Anzeichen dafür, dass Schmerzmittel \(A\) besser wirkt als Schmerzmittel \(B\).

Erklär-Video zu Aufgabe 32