Übungsblatt 6

Aufgabe 25

Die von einer Maschine \(M_{0}\) hergestellten Teile werden nach ihrer Fertigstellung einer Kontrolle unterzogen und anhand dieser Kontrolle mit den Qualitätsstufen \(Q_{1}\), \(Q_{2}\), \(Q_{3}\) oder \(Q_{4}\) versehen. Aufgrund langjähriger Erfahrung nimmt man als Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Qualitätsstufen an:

Qualitätsstufe bei \(M_{0}\) \(Q_{1}\) \(Q_{2}\) \(Q_{3}\) \(Q_{4}\)
Wahrscheinlichkeit 0.18 0.32 0.4 0.1

Die Leitung der Firma steht nun vor der Frage, ob die Maschine \(M_{0}\) durch eine andere Maschine \(M_{1}\) ersetzt werden soll. Von \(M_{1}\) ist lediglich bekannt, dass bei einem Probelauf, bei dem 100 Teile hergestellt wurden und der als einfache Stichprobe angesehen werden kann, die vier Qualitätsstufen mit folgenden Häufigkeiten aufgetreten sind:

Qualitätsstufe bei \(M_{1}\) \(Q_{1}\) \(Q_{2}\) \(Q_{3}\) \(Q_{4}\)
Häufigkeit 24 36 30 10

Testen Sie zum Signifikanzniveau \(\alpha =0.05\), ob \(M_{1}\) bezüglich der Qualitätsstufen dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung wie \(M_{0}\) besitzt.

Lösung einblenden

Chi-Quadrat-Anpassungstest

  1. Hypothesen:
    \(H_0: p=p^0=(0.18, 0.32, 0.4, 0.1)\qquad\text{gegen}\qquad H_1: p\ne p^0\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^k \frac{(n_i-np_i^0)^2}{np_i^0}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(\chi^2(k-1)\)-verteilt. Näherung ok, falls \(np_i^0\ge5\) für alle \(i\) gilt.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.05\):
    \(K=(\chi^2_{k-1;1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{3;0.95},+\infty)=(7.815,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Es gilt \(n=100\), \(k=4\).
    \(a_i\) \(n_i\) \(p^0_i\) \(np^0_i\) \(\frac{(n_i-np^0_i)^2}{np^0_i}\)
    \(Q_{1}\) 24 0.18 18 2
    \(Q_{2}\) 36 0.32 32 0.5
    \(Q_{3}\) 30 0.4 40 2.5
    \(Q_{4}\) 10 0.1 10 0
    \(\Sigma\) 100 \(1\) 100 \(\chi^2=5\)
    Es gilt \(n\cdot p_i^0\ge 5\) für alle \(i\in\{1,\ldots,4\}\) \(\leadsto\) Näherung ok.
  5. Entscheidung:
    \(\chi^2=5\notin (7.815,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird nicht abgelehnt!
    Der Test findet also keine ausreichenden Anzeichen für eine geänderte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den verschiedenen Qualitätsstufen.

Erklär-Video zu Aufgabe 25

Aufgabe 26

Mit einem Chi-Quadrat-Anpassungstest soll zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.05\) getestet werden, ob die von einem Zufallszahlengenerator erzeugten Zufallszahlen (wie gewünscht) \(\operatorname{Exp}(1)\)-verteilt sind. Dazu wurden \(n=100\) unabhängige Zufallszahlen generiert und die Verteilung auf einer vorgegebenen Intervalleinteilung wie folgt festgestellt:

1 2 3 4
\(K_i\) \((-\infty,0.5]\) \((0.5,1]\) \((1,2]\) \((2,\infty)\)
\(n_i\) 32 31 28 9

Führen Sie den beschriebenen Test durch. Fassen Sie das Ergebnis auch in einem Antwortsatz zusammen.

Hinweis: Die Verteilungsfunktion einer \(\operatorname{Exp}(\lambda)\)-verteilten Zufallsvariablen \(X\) ist gegeben durch: \[ F_X(x) = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle 0 & \text{für}\ x < 0\\[0.1cm] 1 - e^{-\lambda x} & \text{für}\ x\ge 0 \end{array}\right. \]

Lösung einblenden

Chi-Quadrat-Anpassungstest

  1. Hypothesen:
    \(H_0: F_Y= F_{\operatorname{Exp}(1)} \qquad\text{gegen}\qquad H_1: F_Y\ne F_{\operatorname{Exp}(1)}\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^k \frac{(n_i-np_i^0)^2}{np_i^0}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(\chi^2(k-1)\)-verteilt. Näherung ok, falls \(np_i^0\ge5\) für alle \(i\) gilt.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.05\):
    \(K=(\chi^2_{k-1;1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{3;0.95},+\infty)=(7.815,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Es gilt \(n=100\), \(k=4\).
    \(a_{i}\) \(F_0(a_i)\)
    \(-\infty\) \(\lim_{x\to-\infty} F_0(x) = 0\)
    \(0.5\) \(1 - e^{-1\cdot 0.5} = 1 - 0.6065=0.3935\)
    \(1\) \(1 - e^{-1\cdot 1} = 1 - 0.3679=0.6321\)
    \(2\) \(1 - e^{-1\cdot 2} = 1 - 0.1353=0.8647\)
    \(\infty\) \(\lim_{x\to\infty} F_0(x) = 1\)
    \(K_i=(a_{i-1},a_{i}]\) \(n_i\) \(p^0_i=F_{0}(a_i)-F_{0}(a_{i-1})\) \(np^0_i\) \(\frac{(n_i-np^0_i)^2}{np^0_i}\)
    \((-\infty,0.5]\) 32 \(0.3935-0=0.3935\) 39.35 1.3729
    \((0.5,1]\) 31 \(0.6321-0.3935=0.2386\) 23.86 2.1366
    \((1,2]\) 28 \(0.8647-0.6321=0.2326\) 23.26 0.9659
    \((2,+\infty)\) 9 \(1-0.8647=0.1353\) 13.53 1.5167
    \(\Sigma\) 100 \(1\) 100 \(\chi^2=5.9921\)
    Es gilt \(n\cdot p_i^0\ge 5\) für alle \(i\in\{1,\ldots,4\}\) \(\leadsto\) Näherung ok.
  5. Entscheidung:
    \(\chi^2=5.9921\notin (7.815,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird nicht abgelehnt!
    Der Test findet also keine ausreichenden Anzeichen dafür, dass die vom Zufallszahlengenerator erzeugten Zahlen nicht \(\operatorname{Exp}(1)\)-verteilt sind.

Erklär-Video zu Aufgabe 26

Aufgabe 27

Bei einer repräsentativen Befragung von \(100\) Autobesitzern wurden folgende Angaben über die jährlichen Inspektionskosten \(Y\) [in ] gemacht:

jährliche Inspektionskosten \(Y\) absolute Häufigkeit \(n_i\)
\(Y\leq 200\) \(9\)
\(200<Y\leq 300\) \(25\)
\(300<Y\leq 400\) \(47\)
\(Y>400\) \(19\)

Testen Sie zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.10\) die Hypothese, dass die jährlichen Inspektionskosten einer \(N(300,100^2)\)-Verteilung gehorchen.

Lösung einblenden

Chi-Quadrat-Anpassungstest

  1. Hypothesen:
    \(H_0: F_Y= F_{N(300,100^2)} \qquad\text{gegen}\qquad H_1: F_Y\ne F_{N(300,100^2)}\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^k \frac{(n_i-np_i^0)^2}{np_i^0}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(\chi^2(k-1)\)-verteilt. Näherung ok, falls \(np_i^0\ge5\) für alle \(i\) gilt.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.10\):
    \(K=(\chi^2_{k-1;1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{3;0.90},+\infty)=(6.251,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Es gilt \(n=100\), \(k=4\).
    \(a_{i}\) \(F_0(a_i)\)
    \(-\infty\) \(\lim_{x\to-\infty} F_0(x) = 0\)
    \(200\) \(\Phi\left(\frac{200-300}{100}\right)=\Phi(-1)=0.1587\)
    \(300\) \(\Phi\left(\frac{300-300}{100}\right)=\Phi(0)=0.5\)
    \(400\) \(\Phi\left(\frac{400-300}{100}\right)=\Phi(1)=0.8413\)
    \(\infty\) \(\lim_{x\to\infty} F_0(x) = 1\)
    \(K_i=(a_{i-1},a_{i}]\) \(n_i\) \(p^0_i=F_{0}(a_i)-F_{0}(a_{i-1})\) \(np^0_i\) \(\frac{(n_i-np^0_i)^2}{np^0_i}\)
    \((-\infty,200]\) 9 \(0.1587-0=0.1587\) 15.87 2.974
    \((200,300]\) 25 \(0.5-0.1587=0.3413\) 34.13 2.4423
    \((300,400]\) 47 \(0.8413-0.5=0.3413\) 34.13 4.8531
    \((400,+\infty)\) 19 \(1-0.8413=0.1587\) 15.87 0.6173
    \(\Sigma\) 100 \(1\) 100 \(\chi^2=10.8867\)
    Es gilt \(n\cdot p_i^0\ge 5\) für alle \(i\in\{1,\ldots,4\}\) \(\leadsto\) Näherung ok.
  5. Entscheidung:
    \(\chi^2=10.8867\in (6.251,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
    Der Test kommt also zum Ergebnis, dass die Annahme einer \(N(300,100^2)\)-Verteilung für die jährlichen Inspektionskosten verworfen werden muss.

Erklär-Video zu Aufgabe 27

Aufgabe 28

Für Planungszwecke ist in einem Industrieunternehmen die empirische Verteilung der Maschinenausfälle \(Y\) pro Tag ermittelt worden. Es ergaben sich aufgrund einer einfachen Stichprobe vom Umfang \(n=200\) folgende Werte:

Maschinenausfälle \(Y\) pro Tag Anzahl der Beobachtungen \(n_{i}\)
0 12
1 43
2 59
3 51
\(\ge 4\) 35

Testen Sie zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.01\), ob die Anzahl der Maschinenausfälle pro Tag poissonverteilt ist. Berücksichtigen Sie dabei, dass die Maximum-Likelihood-Schätzung mit Hilfe der wie oben klassierten Daten den geschätzten Parameter \(\hat{\lambda}=2.4\) lieferte.

Hinweis: Bekanntlich ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(p_X\) einer \(\operatorname{Pois}(\lambda)\)-verteilten Zufallsvariablen \(X\) gegeben durch: \[ p_X(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} & \text{für}\ x\in\mathbb{N}_0 \\[0.2cm] 0 & \text{sonst} \end{array} \right. \]

Lösung einblenden

Chi-Quadrat-Anpassungstest

  1. Hypothesen:
    \(H_0: F_Y= F_{\operatorname{Pois}(\lambda)} \qquad\text{gegen}\qquad H_1: F_Y\ne F_{\operatorname{Pois}(\lambda)}\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^k \frac{(n_i-np_i^0)^2}{np_i^0}\) ist unter \(H_0\) näherungsweise \(\chi^2(k-1-r)\)-verteilt. Näherung ok, falls \(np_i^0\ge 5\) für alle \(i\) gilt und \(r\) Verteilungsparameter per ML-Methode aus den klassierten Daten geschätzt wurden.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.01\):
    \(K=(\chi^2_{k-1-r;1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{3;0.99},+\infty)=(11.345,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    Es gilt \(n=200\), \(k=5\) und \(r=1\). Eine ML-Schätzung aus den klassierten Daten liefert die (gerundeten) Schätzwerte \(\widehat{\lambda}=2.4\) für die unbekannten Verteilungsparameter.
    \(a_i\) \(n_i\) \(p^0_i\) \(np^0_i\) \(\frac{(n_i-np^0_i)^2}{np^0_i}\)
    \(0\) 12 \(\frac{2.4^{0}}{0!}e^{-2.4}=0.0907\) 18.14 2.0783
    \(1\) 43 \(\frac{2.4^{1}}{1!}e^{-2.4}=0.2177\) 43.54 0.0067
    \(2\) 59 \(\frac{2.4^{2}}{2!}e^{-2.4}=0.2613\) 52.26 0.8693
    \(3\) 51 \(\frac{2.4^{3}}{3!}e^{-2.4}=0.209\) 41.8 2.0249
    \(\ge 4\) 35 \(1-\sum_{j=1}^{ 4 }p_j^0=0.2213\) 44.26 1.9374
    \(\Sigma\) 200 \(1\) 200 \(\chi^2=6.9166\)
    Es gilt \(n\cdot p_i^0\ge 5\) für alle \(i\in\{1,\ldots,5\}\) \(\leadsto\) Näherung ok.
  5. Entscheidung:
    \(\chi^2=6.9166\notin (11.345,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird nicht abgelehnt!
    Der Test kommt also zur Entscheidung, dass die Annahme einer Poisson-Verteilung für die Anzahl der Maschinenausfälle nicht zu verwerfen ist.

Erklär-Video zu Aufgabe 28