Übungsblatt 5

Im einleitenden Erklär-Video werden einige wichtige Vorlesungsfolien zur Interpretation von Testergebnissen und zum p-Wert kurz erläutert.

Erklär-Video zu relevanten Vorlesungsfolien

Aufgabe 20

Bei \(n=12\) Filialen eines großen Lebensmittelskonzerns wurde der Umsatz \(Y\) an einem bestimmten Tag registriert. Es ergaben sich die folgenden Werte (in Tausend Euro): \[ 37.7, 39.4, 37.3, 42.2, 39.7, 37.4, 40, 40.5, 40.2, 38.4, 42, 39.8 \] Es werde angenommen, dass der Umsatz \(Y\) durch eine \(N(\mu, 2^{2})\)-verteilte Zufallsvariable beschrieben werden kann, und dass die obigen Werte Realisationen einer einfachen Stichprobe zu \(Y\) sind. Betrachten Sie den Test der Hypothese \(H_{0}:\mu=40\) gegen die Alternative \(H_{1}:\) \(\mu\ne40\).

  1. Berechnen Sie den p-Wert.
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    Zur Berechnung der realisierten Teststatistik benötigte Größen:
    Stichprobenmittel \[ \overline{x}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} x_{i} = \frac{1}{12}\left(37.7 + 39.4 + \cdots + 39.8\right) = 39.55 \] Damit erhält man die realisierte Teststatistik \[ N = \frac{{\overline{x}}-{\mu_0}}{\sigma}\sqrt{n} = \frac{39.55-40}{2}\sqrt{12} = -0.7794 \] und hieraus den \(p\)-Wert (vgl. F. 126/127 SchlStat) \[ 2\cdot(1-\Phi(|N|)) \approx 2\cdot(1-\Phi(0.78)) = 2\cdot(1-0.7823) = 0.4354\ . \]
  2. Entscheiden Sie anhand des p-Wertes über Annahme bzw. Ablehnung von \(H_{0}\) bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha=0.05\).
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    Entscheidung: Es gilt \(p=0.4354\ge0.05=\alpha\), damit kann \(H_0\) nicht verworfen werden (vgl. F. 130 SchlStat).

Erklär-Video zu Aufgabe 20

Aufgabe 21

Aus einer früheren Befragung zum International Roaming in der EU sei bekannt, dass \(75\%\) der deutschen Mobilfunknutzer International Roaming im Jahr 2005 als überteuert einschätzten. Nach erfolgter Preisregulierung wurde 2010 eine erneute Befragung zu den Preisen für International Roaming in der EU durchgeführt. Bei einer rein zufälligen Auswahl von 100 deutschen Mobilfunknutzern gaben insgesamt 55 Personen an, dass Sie das aktuelle Preisniveau als zu hoch einschätzen.

Prüfen Sie zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.01\) nach, ob sich der Anteil der deutschen Mobilfunknutzer, der International Roaming in der EU als überteuert ansieht, gegenüber 2005 vermindert hat.
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(vgl. F. 133ff. SchlStat)
Approximativer Gauß-Test für den Anteilswert \(p\) in der Grundgesamtheit

  1. Hypothesen:
    \(H_0: p\ge p_0=0.75\qquad H_1: p<p_0\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle N=\frac{\widehat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt{n}\) ist unter \(H_0\) (für \(p=p_0=0.75\)) näherungsweise standardnormalverteilt.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.01\):
    \(K=(-\infty,-N_{1-\alpha})=(-\infty,-N_{0.99})=(-\infty,-2.326)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    \(\displaystyle N=\frac{\widehat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt{n}=\frac{0.55-0.75}{\sqrt{0.75 \cdot(1-0.75)}}\sqrt{100}=-4.619\)
  5. Entscheidung:
    \(N=-4.619\in (-\infty,-2.326)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
    Der Test kommt also zur Entscheidung, dass sich der Anteil der deutschen Mobilfunknutzer, die International Roaming als überteuert ansehen, verringert hat.

Erklär-Video zu Aufgabe 21

Aufgabe 22

Eine überregionale Zeitung berichtete, dass das durchschnittliche monatliche verfügbare Einkommen \(Y\) eines Studenten \(500\) Euro beträgt. Das Studentenwerk führte daraufhin eine Stichprobenerhebung durch und erhielt aufgrund der gemessenen Werte \(x_{i}\), \(i=1,\ldots,35\), folgende Werte: \[ {\overline{x}}=\frac{1}{35}\sum_{i=1}^{35}x_{i}=486.525\text{€} \quad s=\sqrt{\frac{1}{34}\sum_{i=1}^{35}(x_{i}-{\overline{x}})^{2}}=78.053\text{€}\ . \] Es werde angenommen, dass das durchschnittliche monatliche verfügbare Einkommen \(Y\) eines Studenten als eine \(N(\mu, \sigma^{2})\)-verteilte Zufallsvariable angesehen werden kann und \((X_{1},\ldots,X_{35})\) eine einfache Stichprobe zu \(Y\) mit der Realisation \((x_{1},\ldots,x_{35})\) ist. Testen Sie zum Niveau \(\alpha=0.05\) die Hypothese, dass das durchschnittliche monatliche verfügbare Einkommen geringer als \(500\) Euro ist.

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(vgl. F. 136ff. SchlStat)
\(t\)-Test für den Mittelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz

  1. Hypothesen:
    \(H_0: \mu\ge \mu_0=500\qquad\mbox{gegen}\qquad H_1: \mu<\mu_0\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}\) ist unter \(H_0\) (für \(\mu=\mu_0=500\)) \(t(n-1)\)-verteilt.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.05\):
    \(K=(-\infty,-t_{n-1;1-\alpha})=(-\infty,-t_{34;0.95})=(-\infty,-1.691)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    \(\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{486.525-500}{78.053}\sqrt{35}=-1.021\)
  5. Entscheidung:
    \(t=-1.021\notin (-\infty,-1.691)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird nicht abgelehnt!
    Der Test kann also nicht bestätigen, dass das durchschnittliche monatliche verfügbare Einkommen geringer als \(500\) Euro ist.

Erklär-Video zu Aufgabe 22

Aufgabe 23

Die Lebensdauer \(Y\) von Scheibenbremsen in einem Auto betrug durchschnittlich \(50000\) km. Nachdem bei den Bremsbelägen ein anderes Material verwendet wurde, rechnete man mit einer Erhöhung der Lebensdauer. Um dies zu prüfen, wurde bei \(16\) Autos die Lebensdauer der Scheibenbremsen festgestellt. Man erhielt bei diesen \(16\) Autos folgende Werte: \[ {\overline{x}}=\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}x_{i}=53417.32\text{ [km];}\quad s=\sqrt{\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16}(x_{i}-\overline{x})^{2}}=9838.62\text{ [km]}\ . \] Es werde angenommen, dass die Lebensdauer \(Y\) als eine normalverteilte Zufallsvariable angesehen werden kann und \((X_{1},...,X_{16})\) eine einfache Stichprobe zu \(Y\) mit den Realisationen \((x_{1},...,x_{16})\) ist. Testen Sie zum Niveau \(\alpha =0.10\) die Hypothese, dass eine Erhöhung der Lebensdauer eingetreten ist.

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(vgl. F. 136ff. SchlStat)
\(t\)-Test für den Mittelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz

  1. Hypothesen:
    \(H_0: \mu\le \mu_0=50000\qquad\mbox{gegen}\qquad H_1: \mu>\mu_0\)
  2. Teststatistik:
    \(\displaystyle t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}\) ist unter \(H_0\) (für \(\mu=\mu_0=50000\)) \(t(n-1)\)-verteilt.
  3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.10\):
    \(K=(t_{n-1;1-\alpha},+\infty)=(t_{15;0.90},+\infty)=(1.341,+\infty)\)
  4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
    \(\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{53417.317-50000}{9838.616}\sqrt{16}=1.389\)
  5. Entscheidung:
    \(t=1.389\in (1.341,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
    Der Test kommt also zur Entscheidung, dass sich die Lebensdauer der Scheibenbremsen erhöht hat.

Erklär-Video zu Aufgabe 23

Aufgabe 24

In einer Kaffeerösterei füllt eine Maschine gemahlenen Kaffee in Packungen `{a} \(500\ g\) ab. Die zufällige Füllmenge \(Y\) (in \(g\)) sei eine normalverteilte Zufallsvariable. Der Kundendienst wird damit beauftragt, bei der routinemäßigen Wartung die Maschine stets so einzustellen, dass für die Varianz der Füllmenge der Sollwert von \(\sigma_{0}^{2}=36\ [g^{2}]\) eingehalten wird. Nach der Wartung kamen Zweifel auf, ob die Neueinstellung erfolgreich war. Eine einfache Stichprobe zu \(Y\) vom Umfang 25 ergab die Realisation \((x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{25})\). Aufgrund dieser Realisation erhielt man die folgenden Kennzahlen aus der Stichprobe:

  • \({\overline{x}}=\frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25} x_i = 502.338\ [g]\)
  • \(s^{2}=\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{25}(x_{i}-{\overline{x}})^{2}=64.159\ [g^{2}]\)
  • \(\widetilde{s}^{2}=\frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}(x_{i}-500)^{2}=67.058\ [g^{2}]\)
  1. Entscheiden Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.01\), ob man von einer signifikanten Vergrößerung der Streuung nach der Neueinstellung sprechen kann, wenn gesichert ist, dass der Erwartungswert der Verteilung der Abfüllmenge dem Sollwert \(500\ [g]\) entspricht. Formulieren Sie das Ergebnis auch in einem Antwortsatz.
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    (vgl. F. 141ff. SchlStat zur \(\chi^2\)-Verteilung und F. 147ff. zum Test)
    Chi-Quadrat-Test für die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekanntem Mittelwert

    1. Hypothesen:
      \(H_0: \sigma^2\le \sigma^2_0=36\qquad H_1: \sigma^2>\sigma^2_0\)
    2. Teststatistik:
      \(\displaystyle \chi^2=\frac{n\cdot\widetilde{S}^2}{\sigma_0^2}\) ist unter \(H_0\) (für \(\sigma^2=\sigma_0^2=36\)) \(\chi^2(n)\)-verteilt.
    3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.01\):
      \(K=(\chi^2_{n;1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{25;0.99},+\infty)=(44.314,+\infty)\)
    4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
      \(\displaystyle \chi^2=\frac{n\cdot\widetilde{s}^2}{\sigma_0^2}=\frac{25\cdot67.058}{36}=46.568\)
    5. Entscheidung:
      \(\chi^2=46.568\in (44.314,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird abgelehnt!
      Der Test bestätigt also die vermutete Überschreitung der Varianz der Abfüllmenge gegenüber dem Sollwert \(\sigma_0^2=36\).
  2. Entscheiden Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau \(\alpha=0.01\), ob man von einer signifikanten Vergrößerung der Streuung nach der Neueinstellung sprechen kann, wenn der Erwartungswert der Verteilung der Abfüllmenge als unbekannte Größe angenommen werden soll. Formulieren Sie das Ergebnis auch in einem Antwortsatz.
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    (vgl. F. 150ff. SchlStat)
    Chi-Quadrat-Test für die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen bei unbekanntem Mittelwert

    1. Hypothesen:
      \(H_0: \sigma^2\le \sigma^2_0=36\qquad H_1: \sigma^2>\sigma^2_0\)
    2. Teststatistik:
      \(\displaystyle \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\) ist unter \(H_0\) (für \(\sigma^2=\sigma_0^2=36\)) \(\chi^2(n-1)\)-verteilt.
    3. Kritischer Bereich zum Niveau \(\alpha=0.01\):
      \(K=(\chi^2_{n-1;1-\alpha},+\infty)=(\chi^2_{24;0.99},+\infty)=(42.98,+\infty)\)
    4. Berechnung der realisierten Teststatistik:
      \(\displaystyle \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{24\cdot64.159}{36}=42.773\)
    5. Entscheidung:
      \(\chi^2=42.773\notin (42.98,+\infty)=K\quad\Rightarrow\quad H_0\) wird nicht abgelehnt!
      Der Test findet also keine ausreichenden Anzeichen für eine Überschreitung der Varianz der Abfüllmenge gegenüber dem Sollwert \(\sigma_0^2=36\).

Erklär-Video zu Aufgabe 24